本篇讨论坚守严谨、简洁、出神入化之风从以下10个维度系统严格论证有限周期上的傅里叶级数展开的正交性、完备性。

该文章比数学分析上讨论得深刻，数学分析仅限于闭区间上的黎曼积分，没有涉及开区间上的广义积分和勒贝格积分，我们在本篇文章里将所有结论均进行推广和深入讨论，讨论广义可积及勒贝格可积时各个结论或定理成立的条件是什么。一篇文章做到深邃、严谨且出神入化。欢迎阅读并点赞收藏

1. 广义积分举例

闭区间上定义的函数不允许出现无穷大点，但是广义积分则没有这样的限制，因此也可以推广到开区间，即区间端点可以取无穷大。之所以如此是因为端点取无穷大不意味着不可积或平方不可积，例如

2.勒贝格积分举例

更进一步，我们可以从测度论的角度将积分推广到勒贝格积分，亦即区间中的点也可以有无穷大点，但最终保证从测度的角度可积或平方可积即可。可以用下列函数体验一下勒贝格积分比黎曼积分有更大的威力。

因此可以用开覆盖

因此勒贝格可积。

3.函数与向量的联系及直观解释无线POS机

学过傅里叶展开的朋友们知道，平方可积的周期函数可以展开为正余弦函数的级数。显然周期函数能被展开为一系列正余弦函数的级数的充分必要条件是正余弦函数作为空间的基矢是完备的。所谓完备就是任何一个向量均可以用我们选定的基矢向量组进行线性表出，例如在三维空间里，两个线性无关的向量显然不是完备的，因为两个线性无关的向量只能线性组合成一个二维平面，并不能线性组合成三维空间。至于正交性，并没有硬性要求，但是正交的基矢可以使我们的表示变得简单。本篇文章我们证明一下傅里叶级数的正交性与完备性。其实正交性的证明很简单，完备性的证明相对麻烦，需要一些铺垫。

4.正交性的证明。

我们证明函数组

证明正弦与余弦的正交性。

5.傅里叶级数以及部分和的定义

为了证明完备性，我们先引入以下结论。

6.傅里叶系数平方和收敛定理及在广义积分与勒贝格积分下的推广

注 上述公式与普通数学分析中的公式不同，之所以在平方前取模是因为我们更深远一步，直接在复数域内讨论问题，而不是局限在实数范围内，而复数可以分解为实部和虚部，所以相应的傅里中系数也会有实部和虚部。

证明：令

则

而

因此

解释 其实这个结论的数学意义很直观无线POS机，一个向量与自身的内积显然等于各个分量系数的模方再乘以基矢与自身的内积，之后再对各个分量求和，由于每一项均大于等于零，因此部分分量的平方和乘以相应的基矢与自身的内积肯定要小于这个数值，因此左边小于右边。

在零附近的积分则是发散的。但是在闭区间上定义的函数如果本身可积显然平方也是可积的，因为函数有界且积分区间有限。

7.可积函数与无穷小周期三角函数乘积积分为零及在广义积分与勒贝格积分下的推广

而

同理，第二式也成立。

证明：我们只证明第二个等号，第一个等号是同理。利用正弦公式

再令函数

再利用结论立即可以得到结论。

8.傅里叶级数部分和积分表达式

其中最后一步用了公式

这个结论用数学归纳法即可证明，请读者自己完成。

补充说明 结论4并没有要求函数的可积性，也没有用到模方可积性。

有了以上铺垫，我们终于可以证明正余弦函数的完备性。

9.傅里叶级数展开定理（完备性定理） 及在广义积分与勒贝格积分下的推广

证明：

由于

有

其中

10.傅里叶级数的附加说明

注意 对于广义积分或勒贝格积分，函数可积也不能保证导数可积，例如无线POS机

显然

将继续坚守严谨、简洁、出神入化之风严格论证傅里叶级数展开的正交性、完备性从有限周期向无限周期的过渡。无线POS机该过程中引入狄拉克函数，在狄拉克函数相关性质的证明上坚守严谨之风，一扫通用教科书之弊习。这是因为狄拉克函数严格来说并不收敛（即便在非零位置也并不收敛），而很多教科书上却直接说在非零位置为零，在零处为无穷大，这是不对的。最后证明卷积定理，并解释卷积定理的直观数学意义。感兴趣的读者可以继续阅读并点赞收藏。 作为傅里叶级数的应用，我们在第三篇文章